Nel mondo della probabilità, una variabile casuale non è un segnaposto per un numero sconosciuto come nell'algebra. Invece, pensala come un traduttore formale. È una funzione a valori reali $X: S \rightarrow \mathbb{R}$ che mappa ogni risultato qualitativo di un esperimento (ad esempio, "estrarre una pallina bianca") in un valore numerico quantitativo (ad esempio, "-1 dollaro").
La logica della mappatura
Utilizzando le variabili casuali, smettiamo di parlare di insiemi di risultati astratti e cominciamo a parlare di eventi in termini di numeri. Ad esempio, se lanciamo una moneta tre volte, invece di considerare l'insieme $\{HHT, HTH, THH\}$, definiamo $X$ come "il numero di teste" e analizziamo semplicemente l'evento $X=2$.
Una variabile casuale è discreta se il suo dominio è finito o infinitamente numerabile (come gli interi). Questa distinzione è fondamentale perché ci permette di utilizzare la sommatoria ($∑$) piuttosto che l'integrazione per trovare le probabilità totali.
Funzione di massa di probabilità (PMF)
La PMF, indicata con $p(a)$, cattura la probabilità che una variabile casuale discreta assuma un valore specifico $a$. Deve soddisfare due assiomi irrinunciabili:
- $p(x_i) \geq 0$ (nessuna probabilità negativa).
- $\sum_{i=1}^{\infty} p(x_i) = 1$ (la massa totale di probabilità deve coprire tutti i possibili risultati).
Esempio risolto: Il paradosso dell'urna
Considera un'urna con 8 palline bianche, 4 nere e 2 arancioni. Estraiamo una pallina e definiamo $X$ come il nostro guadagno: vinciamo 2 dollari per una pallina nera, ma perdiamo 1 dollaro per una pallina bianca. La PMF trasforma l'azione di "estrazione di una pallina" in una distribuzione finanziaria, consentendoci di calcolare la probabilità di andare in bancarotta rispetto al pareggio.
Se $p(i) = c\lambda^i/i!$ per $i=0, 1, 2, \dots$, troviamo prima $c$ assicurandoci che la somma sia uguale a 1. Utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor di $e^\lambda$, troviamo $c = e^{-\lambda}$. Quindi, $P\{X=0\} = e^{-\lambda}$ e $P\{X>2\} = 1 - e^{-\lambda}(1 + \lambda + \lambda^2/2)$.